齿轮啮合接触单元的有限元法

　　有限元法的应用分为三种类型，种是使用有限元法求在给定载荷作用下的轮齿变形。在轮齿弹性变形的分析中，人们主要关心啮合点处的弹性变形。在一般的有限元分析中，往往是将轮齿啮合点处理成啮合力的作用点，这样计算得到的变形实际上是集中力作用下的啮合点变形。但由于弹性变形，啮合点实际上成为啮合接触面，啮合力是一种分布力而不是集中力，因此在利用有限元法时，将分布力简化成集中力及将接触面简化成接触点会产生较大的误差。为了减小这种误差，提出了一种通过选择与接触区面积相对应的有限单元尺寸来补偿的方法，通过对曲率相同的圆柱体的有限元分析，借助于改变接触区的有限元尺寸，研究有限元分析结果与赫芝接触变形间的关系，从而确定将啮合力处理成集中力时为了减小上述误差应在接触区附近选择的有限单元的尺寸。然而这种分析都是以单一轮齿作为分析对象，故此分析模型不能考虑多对轮齿同时啮合时相邻轮齿的影响。

　　第二种是采用接触单元的有限元法，考虑多对轮齿的同时啮合及轮齿的接触变形，进行轮齿的啮合分析。它是一种计算非赫芝型接触问题的数值方法，适用于求解多对轮齿同时啮合的变形和应力状态。由于弹性接触问题有限元法是建立在弹性理论基础上的，因此这种分析得到的结果实际上包含了轮齿的弯曲、剪切、接触压缩等各种变形，利用这种方法可得到多齿同时啮合的变形状态和应力状态，并且可以嵌入轮齿误差。因此，利用此方法进行啮合接触分析，可求得齿轮啮合的静传递误差。如利用三维接触问题有限元模型进行啮合接触分析，得到啮合静传递误差。但若用接触单元的有限元法来处理象某型舰用齿轮箱的振动模态分析，会遇到单元数量过多，大多数软件包的接触单元不能进行振动模态计算的问题，现有的计算条件难以完成这种问题的解算。

　　第三种是考虑齿轮啮合齿面的弹性液体动力润滑，除了有第二种方法的问题外，花纹输送带还有液固耦合问题，现有的计算条件也难以满足要求。故还需探索适合于大型复杂结构的方法，这项工作将在另文中进行讨论。

　　实际上，轮齿的啮合阻尼还与滑油的润滑状态及油性有关，涉及粘性流体动力润滑问题，也是一个非线性问题，很难准确计算。齿轮系统质量及转动惯量的确定前已述及齿轮系统质量及转动惯量用解析方法难以精确计算，只能采用近似的方法。现在可利用这样的有限元分析软件包，对齿轮零部件进行实体造型、装配，然后计算其质量及转动惯量。这样得到的结果是相当精确的。

　　讨论求得了模型中的各个参数后，对于模型的自由振动问题则等价于求矩阵的特征值问题，而求解强迫振动问题可通过坐标变换，把运动方程转化为模态方程，使各广义坐标之间不再存在耦合，而要形成模态方程以及相应的模态刚度、模态质量、模态阻尼比和模态载荷向量，须先求解特征值问题，然后用振型叠加的方法进行求解。