齿轮咬合触碰非线型剖析摹拟和应对层剖析办法

　　1概率有限元的抽样方法

　　在ANSYS的PDS模块，常用的概率分析方法有蒙特卡罗法和响应面法，当然用户可自定义其他的方法，其中，蒙特卡罗法包括直接抽样和拉丁超立方抽样，响应面法包括中心复合抽样法和Box-Behnken矩阵抽样法，本节简要阐述以上4种抽样方法的基本原理。

　　1.1蒙特卡罗法

　　1.1.1直接抽样

　　蒙特卡罗直接抽样方法是 普通和传统的蒙特卡罗分析方法，这种方法应用很普遍，因为它模仿自然过程，每个人都能观察和想像，因此也很容易理解。对于该方法，一个模拟循环代表了特定载荷和边界条件下的一个分量。然而，这种方法不总是可行的，这主要是抽样过程不具有记忆性。例如：如果设定两个随机输入变量，X1和X2，二者服从均匀分布，且在0到1之间，在取值范围中，抽了15个子样，在抽样点中，可能有两个或多个抽样点重叠或比较接近，如1(a)所示，在计算过程中，应尽量避免这种抽样的发生。

　　1.1.2拉丁超立方抽样

　　拉丁超立方抽样：拉丁超立方抽样是一种 的和更加有效的蒙特卡罗方法，拉丁超立方抽样和直接抽样法间的区别就是拉丁超立方抽样具有记忆性，避免抽样点重复或抽样点比较接近，如1(b)所示。通常拉丁超立方抽样比直接抽样法少20到40模拟循环，但对于比较复杂的问题，也需要很大的抽样次数。

　　1.2响应面法

　　1.2.1中心复合抽样法

　　中心复合法抽样时，抽样点数是中心点、N个坐标轴点、以N维超立方体中心为中心的2N-f个点之和，N为随机输入变量的个数，f为中心复合法的阶乘参数，当f=0时，叫做全阶抽样，当f=1时，叫做半阶抽样，随着随机输入变量的个数不同，f值不同，一般来说随着随机输入变量个数的增加，f值增大，从而使计算的循环数更为合理，f值在计算中是根据随机输入变量的个数自动估算的。

　　中心复合法抽样如(a)所示。

　　1.2.2Box-Behnken矩阵抽样法

　　Box-Behnken矩阵方法的抽样点数是中心点加上N维超立方体每个边的中点，Box-Behnken矩阵方法的抽样点如(b)所示。

　　2基于不同抽样方法的齿轮啮合过程的概率有限元分析

　　2.1概率有限元模型的建立

　　对一对微小齿轮的啮合过程进行有限元分析，齿轮采用准LIGA法加工，有限元模型图如所示，微小齿轮的材料参数及所受载荷见，E1，1，E2和2为计算时所采用的与之相对应的符号，假设以上各参数服从高斯分布。

　　1齿轮材料参数及所受载荷参数小齿轮材料参数大齿轮材料参数弹性模量E1/GPa泊松比1弹性模量E2/GPa泊松比2名义值710.31710.31标准差值3.550.01554.260.0186

　　2.2有限元模型的验证

　　本文的齿轮接触分析属于非线性分析，分析结果主要受所建立的接触关系及单元数量和单元疏密程度影响，划分网格是建立有限元模型的一个重要环节，它要求考虑的问题较多，需要的工作量较大，所划分的网格形式对计算精度和计算规模将产生直接影响。本文根据赫兹接触理论估算出接触半宽，以接触半宽的1/5作为齿轮啮合位置局部区域的单元划分长度，当齿轮的材料参数及载荷为名义值时，啮合齿轮的设计参数及理论计算与有限元计算结果如所示，从表中结果可见，该有限元模型在齿轮啮合处单元密度较为合理，接触关系处理正确，计算结果准确，满足了工程需要。该有限元模型的正确建立既提高了后续的概率有限元分析计算效率又保证了计算精度。

　　2啮合齿轮的设计参数及理论计算与有限元计算结果的比较模数m/mm压力角/(°)齿数Z1轴直径d1/mm齿数Z2轴直径d2/mm齿宽B/mm有限元结果/MPa赫兹理论结果/MPa误差/0.120120.4200.60.68146.04140.913.51

　　2.3计算结果分析

　　2.3.1蒙特卡罗法计算结果分析

　　应用ANSYS的PDS模块进行分析，选择蒙特卡罗直接抽样和拉丁超立方抽样方法时，迭代次数设为100次，应用以上两种方法，齿轮啮合处 大等效应力在概率抽样分析中的计算结果如所示，敏度分析结果如所示，根据抽样计算结果，拟合出的响应曲面图如所示。由可知，在直接抽样分析中，齿轮啮合处 大等效应力 大为296.8MPa， 小为270.61MPa，在拉丁超立方抽样分析中，变齿轮啮合处 大等效应力 大为297.01MPa， 小为271.78MPa，两种抽样方法计算结果 大差异约为0.4，但通过查看抽样文件，可知直接抽样有部分抽样点接近重叠，这主要是因为直接抽样法无记忆性。从5可知，两种抽样方法计算结果基本相同，可知大、小齿轮的材料参数中的弹性模量对齿轮啮合处 大等效应力影响 大，其中受大齿轮的的弹性模量影响 大，如果要保证齿轮系统运行的可靠性，首先就要保证大、小齿轮的弹性模量，也就是要控制大、小齿轮的加工及热处理工艺等。从6可知，两种抽样方法拟合出的响应面基本相同。

　　2.3.2响应面法计算结果分析

　　应用响应面法计算结果图如7所示，ANSYS的PDS模块自动计算迭代次数25，从图7可知，中心复合法抽样计算结果和Box-Behnken矩阵法抽样计算结果基本相同，且曲面形状与也基本相似。在响应面计算结果基础上，还可进行蒙特卡罗法的扩展计算，设抽样点为10000个，因为是在拟合结果基础上进行计算，计算速度很快，其计算结果如所示，由可知，在中心复合法抽样分析中，齿轮啮合处 大等效应力 大为304.8MPa， 小为263.97MPa，在Box-Behnken矩阵法抽样分析中，变齿轮啮合处 大等效应力 大为304.43MPa， 小为263.97MPa，两种抽样方法计算结果 大差异约为0.2，与蒙特卡罗法计算结果相比，包括蒙特卡罗法的计算结果，由此可见，响应面法有效地减少了迭代次数，并且有效地预测了系统的可靠性。

　　3结束

　　本文在所建立的较优的齿轮啮合接触非线性有限元模型基础上，应用蒙特卡罗法(直接抽样和拉丁超立方抽样)和响应面法(中心复合法抽样和Box-Behnken矩阵法抽样)对齿轮系统进行了计算。通过结果比较可知，在响应面法计算的基础上，再进行蒙特卡罗扩展计算，可得到更为准确的分析结果，并且计算效率较高，此外，通过计算可知，齿轮系统运行的可靠性受两齿轮材料参数中的弹性模量影响较大，且大齿轮的弹性模量对系统影响 大，要保证系统运行的可靠性，就要严格控制以上两参数。通过以上研究，为齿轮系统的可靠性设计提供了概率有限元分析方法和参考依据，从而有效地保证了齿轮系统运行的可靠性。