一类鉴于特殊的渐开线齿轮立体简易图形模拟构造办法

　　不论是对单个齿轮进行以有限元分析为主的CAE，还是对整个轮系进行以虚拟仿真(VirtualSimulation，VS)为主的运动分析，齿轮三维几何模型是一个基础。由于CAE和VS等软件平台的几何建模功能相对较弱，不能直接或难以提供精确的零件模型，为此通常采用利用主流的CAD软件平台构建零件三维模型，然后通过数据转换接口，将其导入到CAE软件或虚拟环境(VE)中进行分析或仿真。

　　这一方法虽被广泛采用，但并非没有缺点。首先，主流的CAD软件平台一般并不直接提供齿轮的三维几何建模功能。在某些CAD软件平台上，要构建齿轮三维几何模型，必须利用该平台自身所带的开发工具进行二次开发。利用CAD软件平台建模功能带来的方便，可能因二次开发的工作量而有所抵消。其次，在模型数据转换过程中，因为应用领域不同，使得转换后的模型精度、文件大小可能难以很好地满足后续软件的要求。例如有限元分析软件着眼于对齿轮的力学分析，它对几何模型有较高的精度要求。而虚拟仿真软件通常主要分析整个齿轮机构的运动过程，强调的是实时性而非准确性。一种更为常见的情形是，用直线来代替轮齿的渐开线，用平面代替齿面，甚至以表面模型代替实体模型。在对包含齿轮机构在内的综合机构进行虚拟仿真时尤其如此。再其次，模型转换实际上是表达方式的转换，所遵循的思路是从与CAD平台相关的特殊格式向通用的或标准的格式转换，CAD模型中的同一图元在后续软件中常常采用不同的图元来表达，从而可能偏离了CAD模型初始的设计意图。例如希望的矩形表面常常分割为两个三角形，于是在光照计算时同一矩形平台上却有光照突变，这种不自然的效果不利于虚拟仿真技术强调的可视化。可见在不能有效满足后续软件模型要求的情况下，模型转换并不是一个非常理想的技术手段。

　　为此，本文提出一种精确构造齿轮三维模型的方法。该方法独立于CAD软件平台，直接利用OpenGL中的点、线、多边形等图元构建齿轮三维模型，从而避开数据转换工具对几何模型的不利影响。利用这一方法，用户可通过指定顶点数量来自由控制齿轮几何模型的精确度，分别构建出满足CAE和虚拟仿真要求的几何模型。而选择OpenGL图形库，则因为它是一个可连接图形硬件但又独立于硬件的高效软件接口。

　　1齿元定义复杂几何模型通常是对某一基本图形模型进行一系列的拉伸、阵列、对称等处理得到的。齿轮形状的对称性决定了它必然包含 基本的图形模型，这一基本图形模型称为齿轮齿元，它必须满足两个要求：1)通过对齿元进行阵列操作能够完成整个齿轮的几何建模;2)齿元具有不可再分性，即齿元内部的任一部分不能通过另一部分的几何变换得到。

　　齿轮轮齿并不适合这两个要求。轮齿通常是指高于齿根的突出部分，即图1a中FAMAF段，不包含齿槽EF和EF部分，因此对轮齿FAMAF进行阵列变换不能获得整个齿轮外廓形状，不满足要求1)。如果轮齿包含EF和EF段，虽然通过阵列变换可以完成整个齿轮的构建，但它却不是构建齿轮的基本单位，因为包含了相对称的EFAM段和MAFE段。从以上分析可见，EFAM段才是齿元。用标准齿条形刀具进行范成法切制齿轮时，齿条的顶刃与侧刃间有一圆弧过渡，齿轮上与之对应一段非渐开线F1F2也是齿元的构成部分，此时齿元为EF2F1AM，2齿元描述为便于在OpenGL中对数进行操作，有必要将组成齿元的各段曲线在统一的坐标系中描述，为此涉及到不同坐标系以及齿元各段在这些坐标系中的解析表达。

　　21坐标系设定通过对齿元进行几何变换来完成，为便于进行坐标变换， 将齿元置于坐标系合适位置。为此建立直角坐标系O-XY，　OE为X轴，E为齿槽中点。

　　齿元各段 终均在这一坐标系中描述。为便于描述渐开线F1A以及非渐开线段F1F2，又建立直角坐标系O-XY和极坐标系O-X，OF1为X轴。另外设想渐开线F1A在齿根部分为F1B，如图2中虚线所示，点B在基圆上，为渐开线发生点。在以OB为极轴的极坐标系中，渐开线BF1A为标准方程，这样有两个直角坐标系和两个极坐标系。

　　22齿顶部分(MA)非渐开线部分F1F2通常用圆弧代替，为简单可用直线F1F2代替，并设它与渐开线F1A相切于点F1，与齿槽相交于点F2，与OE相交于点G.

　　通过以上各步，将组成齿元的各段统一在O-XY坐标系描述。

　　3几何模型构建31两种建模策略在确定齿元的统一描述后，根据精度要求可以计算出齿元上各点坐标并保存在顶点数组中，然后利用OpenGL函数即可描绘齿元几何外形。

　　在从齿元构建齿轮时，有两种建模策略可供选择。一是轴向优先法，即齿元轮廓EF2F1AM与坐标原点O构成一封闭多边形，对此多边形进行轴向拉伸，从而构成一个立体齿元。然后对立体齿元绕轴进行圆形阵列。二是周向优先法，它是将齿元EF2F1AM进行镜射变换，获得一个完整的轮齿外形。在此基础上对轮齿外形进行周向阵列，从而获得整个齿轮端面形状。对此端面形状再沿轴向拉伸即可得到完整齿轮的三维模型。

　　这两种建模策略各有其特点，但以周向优先法较好。因为不论是以直线还是圆弧来代替过渡区域，齿元轮廓与原点围成的均是非凸多边形，而OpenGL却只能处理凸多边形，利用周向优先法可以合理地组织构成齿轮端面的数据，例如将所有齿元放置于同一数组中，从而便于端面以至整个齿轮的网格化。

　　32周向优先法建模过程描述了周向优先法建模过程。首先根据模数、齿数以及要求的精度进行计算准备，如压力角、展分别是离散齿元渐开线、齿顶圆弧和齿根圆弧的数量，此处取其相等。另外，l为齿轮轴向长度。

　　齿轮端面用三维数组Contour[z][N][k]表达。

　　其中z为齿数;N为离散点数量，为建模精度指标;k0，1，2，分别对应三维坐标分量x，y，z.

　　必须注意的是，为了便于光照处理，在对齿元三维数组进行镜射获得轮齿三维数组时，必须重新安排镜射后的数组元素，使其按同一时针顺序放置，从而使相应多边形的正面和背面一致，这样可以保证获得所需要的光照效果。

　　因为OpenGL是独立于窗口操作系统的，它没有关于管理窗口的函数，为此使用了OpenGL的工具包glut，它对窗口管理工作进行了简化。

　　4结语本文结合齿轮三维模型的不同后续应用，分析了直接建立其三维几何模型的必要性，提出利用齿元来构建齿轮三维模型的方法。为便于组织数据结构，在同一坐标系中描述了齿元的不同部分。提出并分析了基于齿元的两种建模策略，给出了周向优先法的建模实例。这一方法通过指定顶点数量来控制模型精度，从而可以较方便地满足齿轮CAE和虚拟仿真的要求。