鉴于渐开旋转面变成原则的齿轮形状

　　引言渐开线齿轮传动具有轮齿加工工艺性好、传动平稳、振动小、输出转速恒定无波动;两轮中心距允许有一定的安装误差，不会导致输出转速的波动等优点，广泛应用于飞机、车辆、船舶等工业领域。渐开线齿轮是一种形状复杂的三维实体，其造型、精度的高低将直接影响到后续的有限元分析、仿真结果以及直接影响采用三维建模制造齿轮时的制造精度。齿轮三维造型的关键是生成符合要求的渐开线齿廓，但由于商用三维软件不提供渐开线齿轮的直接建模功能，因此直接实现渐开线的建模往往比较困难。针对这一难题，郭越提出了运用建模功能生成渐开线及齿的形状，此方法实现了直齿圆柱齿轮的参数化建模，但也存在着一些缺陷：渐开线齿轮绘制过程中用样条线连结点的方法形成曲线来近似代替渐开线，难以保证较高的精度;参数化建模以其可以避免复杂的尺寸计算和重新建模的过程而被大多设计人员使用;针对一些软件没有直接绘制渐开线的命令，胡赤兵等人提出使用VisuaC 编制程序，计算出齿廓曲线上的一系列坐标，存入文本文件，然后让Solidworks使用此文件，绘制样条曲线，实现齿廓曲线的绘制。使用编程的方法能够实现许多人工难以实现的较精确的渐开线，但要求使用者具备一定的编程知识。

　　针对上述问题，本文提出一种基于渐开线螺旋面的形成原理及其与渐开线的关系来形成渐开线齿廓的建模方法。并结合实例，详细介绍了直齿圆柱齿轮的建模过程：先用“曲线/螺旋线”，“曲面/扫描”命令绘制出渐开线螺旋面，然后在渐开线螺旋面中间的任意一位置做一个端面平面，此端面平面与渐开线螺旋面的交线就是渐开线，然后用拉伸或者扫描特征完成渐开线齿轮的造型。此建模过程直接利用商用三维软件内部的计算功能，免去复杂的计算，操作过程简单，能够实现齿轮的精确绘制。

　　1齿轮渐开线的形成原理1.1渐开线的形成原理当一条直线BK沿半径为rb的圆周作纯滚动时，其直线上任意一点K的轨迹(AK)就是该圆的渐开线。

　　推导出渐开线的直角坐标方程：x=rbcosφ rbφsinφy=rbsinφ-rbφcosφ式中：rk―――K点的向径;φ―――渐开线的展角;rb―――基圆半径。

　　1.2渐开螺旋面的形成原理以螺旋线为导线，一直母线运动时，始终与该螺旋线相切而形成的曲面称为切线螺旋面，又称为渐开线螺旋面。根据渐开线螺旋面的形成原理，当一直母线ML切曲导线圆柱螺旋线AE于点M，直母线做连续运动，由起始位置A运动到M1L1位置，切曲导线圆柱螺旋线AE于M1，直母线如此连续运动并始终保持与曲导线圆柱螺旋线AE相切，所形成的曲面即为渐开螺旋面。

　　为了更形象的说明渐开螺旋面的形成，根据渐开螺旋面的另一个重要性质：如果以任意一个与基圆相切的平面去截渐开螺旋面，则这个平面上的截线是条直线，用另一种方法形成渐开螺旋面。如所示，把纸条剪成直角三角形AFE，使直角边AE重合于圆柱的直素线，将纸条围绕圆柱表面，其 点F重合于A，然后再展开纸条，于是纸条的斜边的轨迹就形成了渐开螺旋面。

　　1.3渐开线与渐开螺旋面的关系 点F在空间划过的一条平面曲线，就是圆的渐开线。渐开螺旋面的发生母线是在与基圆柱相切的平面中的一条斜线，这斜线与端面的夹角就是该螺旋面的基圆螺旋升角α。

　　由于螺旋线是一条空间曲线，因此渐开螺旋面是一种切线曲面，是可展曲面。

　　上述方法很形象的表明渐开螺旋面的端面截形是渐开线，下面用几何的方法证明渐开螺旋面的端面截形是渐开线：渐开螺旋面可以看作是直母线ML作螺旋运动所形成的直纹螺旋面，其上一点N的径矢ON为：ON=OK KM MN(1)式中：MN=u―――直母线的一段，即由直母线同基圆柱的切点M到渐开螺旋面上任一点N的线段;OK=rb―――基圆柱半径;KM=pφ―――在螺旋运动中，转过角φ时的轴向位移。

　　将矢量ON投影到坐标轴上，得到：ON=(rbcosφ ucosαsinφ)i (rbsinφ-ucosαsinφ)j (pφinα)k(2)式中：p=rbtanα;α―――直母线MN的升角，它等于基圆柱上螺旋线的升角。

　　写成直角坐标的形式：x=rbcosφ ucosαsinφy=rbsinφ-ucosαsinφz=pφinα(3)渐开螺旋面被平面z=常数截出的截线就是渐开线。为了方便起见我们取z=0，即pφinα=0(4)又因：p=rbtanα则：u=pφsinα=rbcosαφ(5)将(5)代入(3)式得到：x=rbcosφ rbφsinφy=rbsinφ-rbφcosφ(6)式(6)即为渐开线的表达式，由此式可以看出，渐开螺旋面的端截形即为渐开线，并且与渐开线螺旋面的螺旋升角α没有关系。当用z≠0的平面去截渐开线螺旋面时，螺旋升角α的大小只影响渐开线的起始位置，而与渐开线的形状无关。

　　由渐开线的形成原理可知渐开螺旋面的端截形是渐开线。因此可以利用渐开螺旋面的端截形来绘制齿轮的渐开线，从而完成渐开线齿轮的三维建模。

　　2渐开线直齿圆柱齿轮的建模2.1基本参数齿轮三维造型的关键是生成符合要求的渐开线和轮齿。标准渐开线圆柱齿轮的几何尺寸取决于齿轮的5个重要参数：齿数z、模数m、压力角α、齿顶高系数ha和顶隙系数c。圆柱齿轮标准齿顶高系数及顶隙系数按正常齿轮取1和0.25，利用这几个基本参数计算出齿轮的各个部分的几何特征参数：齿顶高：ha=ham;齿根高：hf=(ha c)m;分度圆直径：d=mz;基圆直径：db=dcosα;齿顶圆直径：da=(z 2ha)m;齿根圆直径：df=(z-2ha-2c)m.

　　下面我们根据一个具体实例来介绍渐开线齿轮在Solidworks中的三维建模：已知一齿轮参数：z=20、m=4、α=20、ha=1、c=0.25;根据上述关系式可算出相应的分度圆、齿顶圆、基圆、齿根圆直径，分别为80、88、75、70.

　　2.2具体建模过程2.2.1渐开线的形成(1)打开Solidworks，新建一个文件，选择前视基准面，进入草图绘制模式。绘制一个以坐标原点为圆心的圆，该圆直径为75，即基圆直径。退出草绘模式。

　　(2)用“曲线/渐开线/涡状线”命令生成一个螺旋线。通过定义螺距和圈数完成螺旋线的绘制，由于螺距指的是螺纹上相邻两牙对应点的轴向距离，对渐开线螺旋面的端面截形没有影响，所以可以根据需要自定义数值。渐开线是渐开螺旋面的端面截形，螺旋线的圈数、起始角度和方向对渐开线的形状都没有影响，故没有特殊要求。

　　(3)选择参考几何体中的基准面工具创建一个与右视基准面平行且通过螺旋线一个端点的基准面1.选择基准面1进入草绘模式，视图方向选择右视，从而使基准面与桌面平行。绘制一线段，然后使用“草图约束”建立如下约束：线段端点与螺旋线端点重合;线段与螺旋线相切。退出草绘命令，选择曲面/扫描曲面命令，其轮廓和路径的选择如所示，生成渐开螺旋面。

　　曲面扫描形成渐开螺旋面(4)选择“基准面1”进入草绘模式，绘制一条与渐开螺旋面相交且垂直于螺旋线轴线的线段，退出草绘模式。选择“曲面/拉伸曲面”命令，拉伸至合适的宽度：即与渐开螺旋面完全相交，然后点确定，完成曲面拉伸。

　　(5)选择“曲线/分割线”命令，分割类型选择“交叉点”，然后在下面的选择项目中分别选择曲面1和渐开螺旋面，确定后所得两曲面的分割线就是渐开线，如所示。

　　齿轮齿廓渐开线部分的形成2.2.2生成齿轮(1)在2.1中已经通过分度圆、齿顶圆、齿根圆直径的计算公式得到相应的直径。选择渐开线所在的拉伸曲面，进入草绘模式，通过“转换实体引用”工具将渐开线转换为草图实体。然后以基圆圆心为圆心绘制3个同心圆，即分度圆、齿顶圆、齿根圆，尺寸分别为80、88、70.

　　选择绘制点命令，在渐开线上绘制一个点，然后通过“添加几何关系”建立如下约束：分度圆固定;创建的点和分度圆重合;分度圆作为构造线。工具/草图工具/圆周阵列，将点等间距圆周阵列，数量为40.

　　然后作出渐开线上的点和相邻点间连线的中垂线(构造线)。用“镜像实体命令”，以中垂线为中心线，镜像渐开线。然后用“剪裁实体/裁剪到 近端”减掉渐开线齿廓外侧齿顶圆的部分，用“剪裁实体/强劲剪裁”减掉齿顶圆外侧渐开线的部分，就得到齿廓的渐开线部分，(2)齿廓其余部分的绘制：由于渐开线齿轮的齿数决定了齿根圆半径和基圆半径的大小关系，进而影响齿廓线的形状。如在渐开线齿轮压力角α为20°，齿顶高系数ha为1，顶系系数c为0.25的情况下，当齿数z≥42时，齿根圆半径大于基圆半径，齿廓曲线完全是渐开线;当渐开线齿轮齿数z<42时，齿根圆半径小于基圆半径，齿根圆和基圆之间是一段渐开线的近似曲线。本文所举例子中齿轮的齿数为20，故齿根圆半径小于基圆半径，因此齿廓的形状并非完全是渐开线。

　　用样条曲线连结渐开线在基圆处的端点与齿根圆，作为渐开线齿轮齿根部分的过渡圆弧。虽然齿根过渡圆弧对齿轮啮合过程没有贡献，但对齿轮的强度，尤其是对齿轮的弯曲强度有重要影响。本文重点介绍齿轮轮廓渐开线部分的绘制，并且已经有人提出了建立精确齿根过渡圆弧的方法，本文就不再作详细论述。

　　分别裁剪掉基圆和过渡圆弧的多余部分，便得到一个齿轮过渡圆弧轮廓的一侧。然后以过基圆圆心的构造线为中心线，使用“镜像实体”命令绘制出齿根另一侧的齿廓，并对齿顶作倒角处理，便得到一个轮齿完整的端面轮廓。

　　(3)“草图圆周阵列”阵列轮齿的端面轮廓，阵列数量为20，然后将齿根圆多余的部分剪切掉，如所示。

　　(4)退出草图后，以整个齿轮轮廓为截面进行拉伸，拉伸深度为齿轮厚度，完成拉伸，类似的可以采用沿螺旋线扫描得到渐开线斜齿轮三维模型。

　　3结束语渐开线齿轮的造型比较复杂，一直是三维CAD设计的难点，本文另辟蹊径，以渐开线直齿圆柱齿轮为例介绍了渐开线齿轮的造型过程。对于斜齿轮，其基本原理相同，在完成渐开线斜齿轮的端面齿廓后，再生成一条螺旋线，用扫描的方法以端面齿廓为轮廓，以螺旋线为路径可以得到符合要求的斜齿轮。

　　基于渐开螺旋面的形成原理来完成渐开线齿轮造型是比较简单易懂的一种方法，用该方法得到的齿轮能够保证造型的精确性，且造型速度快，避免了手工取点造型的复杂过程。