逐开型齿轮横面的工效参数和差距解析

　　渐开线实际工程上广泛应用的渐开线廓面有如下两种(1)渐开线柱面渐开线柱面可看成是由OXY平面上的渐开线沿Z轴平移运动形成。可以看出，当;=常数时，即可得渐开线柱面方程，此时Z为沿直母线的长度参数。

　　渐开线柱面是渐开线直齿轮廓面。而当Z=常数时，描述了渐开线柱面的渐开线族;当λ=常数时，描述渐开线柱面的直母线族。

　　(2)渐开线螺旋面参考式(2)，当;、Z满足关系Z=Rbtanβb;(3)时，即得渐开线螺旋面方程r=Rbe(λ θ)-Rbλe1(λ θ) Rbθtanβbk(4)式中，βb为基圆螺旋角。

　　渐开线螺旋面可以由OXY平面上的渐开线绕Z轴作螺旋运动形成，如所示。

　　图2渐开线柱面图3渐开线螺旋面将式(4)中的圆矢量函数e(λ θ)和e1(λ θ)展开，可得渐开线螺旋面的直角坐标方程X=Rb[sin(λ θ) λcos(λ θ)]Y=Rb[cos(λ θ)-λsin(λ θ)]Z=Rbθtanβb(5)可以看出，渐开线螺旋面仅决定于两个参数：基圆半径Rb和基圆螺旋角βb。

　　值得注意的是，中的螺旋线AQ称为基圆螺旋线，其所在的圆柱称为基圆柱，基圆螺旋线的切线PQ称为直母线，三角形PQT称为渐展三角形。

　　从式(5)中可以看出，当θ=常数时，Z=常数，方程表示为渐开线，表明渐开线螺旋面的端面截形为渐开线;当λ=常数时，有X2 Y2=Rb2(1 λ2)Z=Rbtanβbθ(6)表示半径为Rb1 λ2的圆柱上的螺旋线，其导程为PS=2πRbtanβb(7)当λ θ=常数时，可以证明，方程表示渐开线螺旋面上与基圆柱螺旋线相切的一条直线(即直母线)。

　　渐开线螺旋面各特征线的影射一个理想的渐开线斜齿轮廓面与理想的标准斜齿条啮合时，左右廓面各形成一个啮合面，它们均与基圆柱相切，如所示。啮合面与齿轮廓面的交线为直母线，即齿条与齿轮啮合的瞬时接触线;齿廓上某一端截面渐开线在啮合过程中，在啮合面上形成一条平行于端面的直线;与齿轮同轴的圆柱面如顶圆柱、根圆柱、分圆柱等，同啮合面的交线为平行于齿轮轴线的直线。据此就可以把渐开线螺旋面上的各类特征线映射到啮合面上。

　　如所示，NN′为啮合面与基圆柱的切线，设为纵轴(Z轴)，展开角λ的变化形成横轴，则图4啮合面与直母线图5映射平面与特征线①与横轴平行的直线族为渐开线族，条件为：θ=常数，或Z=Rbcotβbθ=常数;②与纵轴平行的直线族为螺旋线族，条件为：λ=常数，或R=Rb1 λ2=常数;③与Z轴夹βb角的直线族为直母线族，条件为：λ θ=常数，或Z=-Rbcotβbλ 常数;进一步看出，当βb=0时，渐开线斜齿轮廓面则变成了渐开线直齿轮廓面，这时廓面上的螺旋线族和直母线族合二为一，成为了平行于齿轮轴线的直母线族。

　　可以看出，映射平面上的点一一对应齿轮廓面上的点。且齿轮廓面上的渐开线、螺旋线及直母线均映射为直线，便于工程应用。

　　渐开线廓面各项误差之间关系渐开线廓面上具有诸条表征性的曲线族。具体地，对于渐开线直齿轮廓面，它们是渐开线族和直母线族，并将渐开线误差规定为齿廓误差，直母线误差规定为螺旋线误差。而对于渐开线斜齿轮廓面，它们共有渐开线族、直母线族、螺旋线族和接触迹族(本文未涉及)四族特征线，并将渐开线误差规定为齿廓误差。值得注意的是，直母线作为渐开线廓面的重要特征线，虽然未被国家标准引入检测项目，但它反映了一对渐开线齿轮啮合的瞬时情况。各直母线误差可综合反映齿轮实际啮合品质。如所示，渐开线廓面某点处的直母线误差值矢量HL，表达在啮合面上且垂直于直母线;齿廓误差值矢量Hf表达在啮合面与端截面的相交线上;螺旋线误差值矢量Hβ表达在端截面与分度圆柱切平面的相交线上。从图示的分析可得如下关系图6齿廓、螺旋线、直母线误差值的关系Hf=HLcosβb(8)Hβ=Hfcosα(9)归纳地说，各齿廓误差值是直母线误差值的端面投影;各螺旋线误差值是齿廓误差值在分度圆切平面上的投影。

　　进一步地，在全齿宽范围内，max(HL)-min(HL)即为直母线误差ΔHL，max(Hβ)-min(Hβ)即为螺旋线误差Δfβ;在全展成角范围内，max(Hf)-min(Hf)即为齿廓误差Δf。

　　结束以啮合面作为映射平面，渐开线廓面上的渐开线族、螺旋线族及直母线族均表现为直线特征。对渐开线齿轮各项误差分析及精度测量方法的完善具有重要意义。直接反映齿轮啮合品质的直母线误差分析与研究，具有更为实际的工程价值。