入齿数据运算在弧形齿轮切削摹拟中践行研讨

　　非圆齿轮插齿数值计算模型在用插齿刀展成非圆齿轮齿廓时，如果非圆齿轮不动，插齿刀的节圆将在非圆齿轮的节曲线上纯滚动。在中，将非圆齿轮的坐标系作为固定坐标Oxy。坐标系O1xsys和插齿刀固联。当插齿刀沿非圆齿轮节曲线r=r(Υ)纯滚动到K点rK=r(ΥK)时，插齿刀转过ΓK，插齿刀中心O1在固定坐标系Oxy中的坐标为(xO1，K，yO1，K)，K点和插齿刀的中心连线O1K是非圆齿轮节曲线在K点的法线[5]。

　　由于插齿刀的齿廓和非圆齿轮的齿廓在每个瞬时都是相切接触的，从数学上讲，非圆齿轮的齿廓就应是插齿刀对应齿廓的曲线族的包络[6]。中的放大图是插齿刀第1个刀齿包络非圆齿轮的第1个齿槽图示，从图中可以清楚地看到在展成过程中，插齿刀的齿廓包络出非圆齿轮廓。插齿刀的齿廓在非圆齿轮实体内的边界线(包络线)就是非圆齿轮齿廓。因此，可以通过求出这些边界线上的一系列点来得到非圆齿轮齿廓。

　　非圆齿轮的齿顶曲线是节曲线的一条法向等距线[3]，它和非圆齿轮的每一个齿只有2个交点。非圆齿轮节曲线的其他法向等距线和非圆齿轮每一个齿槽 多也只有2个交点，而且2个交点分别在齿槽的两侧。如果按照一定规则，从非圆齿轮齿顶到齿根，计算出一定数量的节曲线的等距线，求解其和每一个齿廓(边界线)的交点(如中的放大图所示的m1、m2、m3点)，就可得到非圆齿轮各个齿的齿廓。

　　如果在非圆齿轮齿全高范围内，设非圆齿轮节曲线的等距线条数为k，并让相邻等距线之间的距离相等，则第t条等距线到节曲线的距离为ht=ha-tha ha0k(2)式中ha――非圆齿轮齿顶高ha0――插齿刀齿顶高t=0，1，2，…，k，表示法向等距线从非圆齿轮齿顶到齿根。外非圆齿轮括号前的符号取正，内非圆齿轮括号前的符号取负。

　　节曲线的第t条法向等距线在齿轮坐标系Oxy中的方程为[7]xt(Υ)=r(Υ)cosΥ ht(r′(Υ)sinΥ r(Υ)cosΥ)(r2(Υ) r′2(Υ))-12yt(Υ)=r(Υ)sinΥ-ht(r′(Υ)cosΥ-r(Υ)sinΥ)(r2(Υ) r′2(Υ))-12(3)式中r(Υ)――非圆齿轮的节曲线r′(Υ)――节曲线的一阶导数文献[4]中给出了非圆齿轮节曲线的法向等距线和边界线的交点mt(非圆齿轮齿廓上的点)求解的具体方法，同时将对应于点mt的插齿刀齿廓上的点用其到插齿刀中心的距离Rt表示。

　　2产生非圆齿轮根切的机理根据插齿刀和非圆齿轮的齿廓啮合原理，在正常的啮合情况下，它们之间有如下关系[8]()：ab为渐开线插齿刀的齿廓F1，b为齿顶角点，cd(e)f是其包络出的非圆齿轮的齿廓F2。其中，渐开线ab段从a点到b点依次包络出非圆齿轮齿廓的cd部分。

　　与此同时，在包络过程中b点的运动轨迹形成了非圆齿轮的过渡曲线ef，e点和包络点d重合，并且e点是包络齿面和过渡曲线的相切点。

　　如果插齿刀齿形F1上的某1个点，和其共轭的非圆齿轮齿廓F2的点的曲率为无穷大，这表示齿廓F2上出现了尖点。在中，aJb是插齿刀的齿廓F1，cJd是和它共轭的齿廓F2，齿廓F1的aJ段与齿廓F2的cJ的段啮合，J是齿廓F2上的尖点。如果齿廓F1的轮齿实体是在aJb的左侧，则Jd就在轮齿的实体内部，它当然是无法实现的。不仅如此，如果齿廓F1是由J延伸到b处的话，齿廓Jb与Jd共轭时，b点的运动轨迹还会与齿廓F2的cJ段相交(交点为e)而产生干涉，所以在实际加工中，插齿刀的齿廓F1会把非圆齿轮齿廓F2上e点以下的部分切去，因此， 终得到的非圆齿轮齿形是中的fec段，这种现象就叫非圆齿轮的根切[8]。

　　因此，从理论上说，如果能计算出齿廓上是否存在包络齿廓于过渡曲线的交点e，就能够判断该齿廓是否发生根切，实际上，由于数值计算的不连续性，e点可能不在设定的法向等距线上，难以恰好算到e点。为此，利用e点处的另外一个特征，作为判断是否产生根切的判据：已知插齿刀齿廓在包络正常齿廓ce时，相应的插齿刀齿廓上点的半径Rt也是连续变化的，但是，过渡曲线则是插齿刀齿顶b的轨迹，Rt总是等于插齿刀的齿顶半径Ra，由于产生了根切，在e点上下的Rt就会产生一个突跳，因而可以用齿面上的Rt有没有突跳作为是否发生根切的 明显而实用的判据。

　　在中，设mk是非圆齿轮法向等距线上 靠近e点的包络齿廓ce段上的点，图中的粗实线表示插齿刀齿廓上的t点包络出非圆齿轮齿廓上的mk点，mk-1是 靠近mk的非圆齿轮法向等距线上的包络齿廓ce段上的点。

　　mk 1是非圆齿轮法向等距线上 靠近e点的过渡曲线fe上的点，图中用虚线表示了插齿刀齿顶点b形成了过渡曲线的mk 1点。

　　由插齿数值计算模型可以得到mk-1、mk、mk 1点和其对应的插齿刀点半径为Rk-1、Rk、Rk 1。考虑到数值计算的误差，mk 1点对应的插齿刀齿廓上的点不可能刚好是b点，但会在非常靠近b点的区域，有Rk 1≈Ra。同时，因为mk在包络齿廓上，所以RkRk>Rk-1，Rk 1-RkμRk-Rk-1。按照式(5)计算有 μ1，可见，根据 μ1就能说明齿面上的Rt有突跳，mk和mk 1之间的e点是包络齿廓和过渡曲线的相交点，可以判断出齿廓发生了根切。为了说明根切的程度，可以用根切开始点的齿高HC来说明，从上面的分析可知其值为HC=ha0 0.5 1)(6)式中 1为mk、mk 1点对应等距线距离，其值可以按照式(2)计算得到。

　　在不发生根切情况下，过渡曲线和工作齿线的分界点的齿高为定隙hc。如果HC值超出hc越多，说明包络齿廓和过渡曲线的相交点e越靠近齿轮齿顶，则根切程度越严重。

　　如果齿面上Rt没有突跳，则根据式(5)有 ≈1或 <1，说明没有发生根切，而mk和mk 1之间的e点是包络齿廓和过渡曲线的相切点。因此，在用插齿数值计算模型计算出各个齿的齿廓后，首先用式(4)得到过渡曲线和包络齿面的分界点等距线编号k。接着用式(5)计算出根切判断因子 .再根据 的值判断出非圆齿轮各个齿廓是否发生根切进行分析。如果某个齿发生了根切，计算HC，用HC值来判断根切的程度。 ，根据得到的所有齿的根切情况，决定该非圆齿轮是否能用在生产实际中。

　　算例下面以一个椭圆齿轮为例，说明基于插齿数值计算模型判断根切的具体实现过程。椭圆长轴半径A=100mm，偏心率k1=0192531，模数m=5mm，压力角Α=20°， 小曲率半径Θmin=14136215mm(在椭圆长轴处)，非圆齿轮齿数Z2=29，插齿刀齿数z0=20，插齿刀齿顶高ha0=6mm，插齿刀的齿顶圆半径Ra=56mm.

　　根据式(1)，非圆齿轮不发生根切的 大模数mmax应该满足条件mmax≤0.117Θmin=1.6804mm(7)显然，该齿轮的m=5mm远远大于不发生根切的 大模数，齿轮会发生根切，但是对于哪些齿发生了根切和其根切程度并不知道，这就需要按前述方法进行判断。

　　首先根据上面给出的椭圆齿轮参数和插齿刀参数求解插齿数值计算模型，如果在非圆齿轮从齿顶到齿根取30条等距线，就可以求解出非圆齿轮的齿廓，如所示。给出了非圆齿轮 个齿的左侧齿面在第t条法向等距线上的坐标(x2t，y2t)和形成该点的插齿刀齿廓上点的半径Rt。并做出从非圆齿轮齿顶到齿根点和插齿刀对应点的半径关系图，如所示。根据上面的例子可以看出，本文用求解齿廓的有用信息来判断插齿过程中是否发生了根切的方法是正确可行的。

　　结束从非圆齿轮根切的形成原理出发，结合非圆齿轮插齿数字计算模型，给出了非圆齿轮根切校验的精确方法。利用该方法，不仅能够判断出非圆齿轮的哪些齿发生根切，而且可以对根切的程度进行估计和评价，为非圆齿轮的设计和使用提供了有力的校验方法。