鉴于理论法的齿轮稳定性预设

　　用传统的解析法和数值法计算可靠度时，必须知道应力S、强度的分布类型及分布参数。在机械设计中，影响应力和强度的物理、几何因素较多，如弹性模量E、泊松比、零件的几何尺寸系数、表面质量等，由于这些参数均是随机变量，具有分布特性，因此计算时就有一定的复杂性和误差。此外，当应力和强度分布复杂，且其分布类型多样时，用解析法或数值法就难以计算可靠度。在这种情况下，一般只能借助于数值模拟方法来求解。蒙特卡洛法便是应用较广泛的一种利用计算机模拟求解可靠度的方法。MonteCarlo方法的基本思想是首先建立一个概率模型，使所求问题的解正好是该模型的参数或其他有关的特征量，然后通过模拟统计，即多次随机抽样实验，统计出某事件发生的百分比，只要实验次数很大，该百分比便近似于事件发生的概率。

　　1齿轮可靠性设计实例文中的原始数据取自高等教育出版社机械设计第7版齿轮传动的传统设计例题10-2.计算所用的数据系数均由该手册中的数表、线图和公式直接查取或计算得到。

　　CM6150车床变速箱，已知输入功率P1=10kW，小齿轮转速n1=960r/min，齿数比u=3.2，由电动机驱动。工作寿命1 ，设每年工作300d，2班制，带式输送机工作平稳，转向不变。选择小齿轮材料为40Cr调质，硬度为280HBS，大齿轮材料为45钢调质，硬度为240HBS.由传统设计得到的齿轮传动的主要几何参数：齿轮的法面模数为mn=2mm，齿数Z1=31，Z2=99，螺旋角=1425，中心距a=134mm，尺宽b=65mm，精度等级为7.试求该齿轮传动的可靠度。

　　解：考虑齿轮的弯曲强度较富裕，因此该齿轮传动的可靠度主要取决于齿轮的接触强度。

　　1)确定强度的均值与标准差由机械零件手册查得Hlim1=600MPa;Hlim2=550MPa.

　　齿面的许用接触应力公式为HP=Hlim　ZN　ZR　ZV　ZW　ZL　ZXSHmin.

　　式中：由于ZR、ZV、ZL、ZX对齿面接触应力影响较小，公式可简化为HP=Hlim　ZN　ZWSHmin.取齿面接触强度的变异系数C=0.1，小齿轮和大齿轮接触强度的标准差为SHlim1=0.1　600=60MPa，SHlim2=0.1　550=55MPa.

　　一般齿轮传动，接触强度 小安全系数SHlim=1，即标准差SSHlim=0.由N1=60n1t=6.2　109，N2=N1i=1.9　109，查表得ZN1=ZN2=1，SZN1=0.取寿命系数的变异系数C=0.07，则SZN2=10.07=007.

　　因为小齿轮为软齿面，未经磨齿，故取ZW=1，则SZW=0.

　　将以上各参数分别代入简化的齿面许用接触应力公式中，由独立随机变量的乘法定理得到小齿轮、大齿轮的许用接触应力的均值和方差分别为：HP1=600MPa，SHP1=55MPa，HP2=550MPa，SHP2=67.246MPa.故强度的均值和标准差分别为HP=HP1 HP22=600 5502MPa=575MPa，SHP=12(S2HP1 S2HP2)1/2=45.061MPa.

　　2)确定应力的均值与标准差齿轮接触应力公式为Hca=ZEZHZFt(u 1)bd1uKAKVKK，式中：分度圆直径d1、齿宽b、齿数比u、节点区域系数ZH等，均属于和齿轮几何尺寸有关的参数，他们只能在精度等级允许的公差范围内变化，取值区间较小，而且工艺上可以保证，为简化起见，这里把它们作为定值处理，除了上述这些参数外，其他参数按随机变量处理。

　　令Ftc=FtKAKVKK，应用独立随机变量乘法定理可得Ftc的均值和标准差分别为Ftc=3669.138，SFtc=267.923;令Z=Ftc(u 1)bd1u，应用独立随机变量的常数定理可得Z的均值和标准差分别为：Z=1166，SZ=0.085;令M=Z，应用独立随机变量的开方公式，可得M=1.179，SM=0.036.

　　从手册中查得材料弹性系数ZE的均值Z=189.8，取偏差ZE=(10，则标准差为SZE=10/3=3.33.从手册中查得接触强度重合度=1.60，则Z=1/=0.791，取偏差Z=0.03，则标准差SZ=0.033=0.01;从手册中可查得结点区域系数ZH的均值ZH=2.44，按定值处理，则SZH=0.

　　令Hca=ZEZHZM，则应用n次2个独立随机变量乘法定理，可得应力的均值和标准差分别为：Hca=431.176MPa，SHca=14.337MPa.

　　3)计算可靠度若齿面接触应力及齿面疲劳强度极限均服从正态分布，可得可靠性系数为ZR=HP-HCS2HP S2Hca=575-431.17645.0612 14.3372=3.041.

　　由标准正态分布表，查得齿面接触疲劳强度可靠度为：R(t)=(ZR)=99.8817.

　　2蒙特卡洛法在齿轮可靠性设计中的应用上述计算是基于所有的随机变量均服从正态分布，且互相独立，而当各随机变量不全部是正态分布时，根本就无法计算出可靠度，在这种情况下，就可以利用蒙特卡洛法求解。蒙特卡洛法中重要的一步是产生随机数。产生随机变量的基础是产生[0，1]区间上均匀分布的随机数。其他各类分布如正态分布、对数正态分布、泊松分布等，都是通过[0，1]区间上的均匀分布进行变换得到的。获得均匀分布的随机数后，可以用多种方法构造基于该随机数的随机变量。常用的方法是反函数法，即利用随机变量x的分布函数F-1(x)推求出随机变量。基本算法是：首先产生均匀布分随机数r，然后令x=F-1(x)，返回。

　　正态分布随机变量的生成具体如下，正态分布的密度函数为fN(x)=12exp-12x-(2，-)

　　当n=12时，可达到较好精度，故x=(12i=1ri-6)　 式中：x就是基于均匀分布随机数ri的服从正态分布的随机数。

　　利用蒙特卡洛法进行齿轮传动可靠度计算的流程如图1所示。

　　经上机实践证明，与传统计算方法得到的R(t)=99.8817相比，2种方法所得的结果比较接近，说明蒙特卡洛法用于可靠性计算是可行且正确的。

　　3结束语同传统代数法计算可靠度相比，蒙特卡洛法只须知道应力和强度分布类型及概率参数，不需要经过复杂的积分计算，就能够得出机械零件的可靠度，而且随着模拟试验次数的增加，模拟结果精度也随之提高。将这种方法应用于机械CAD中，可节省时间和劳动力，大大提高工作效率，同时确保计算的高效、准确，对可靠性设计提供了保证。