秒表齿轮基本齿形数值改良算法探讨

　　1引言钟表齿轮是一种小模数齿轮，齿廓很少采用渐开线，而是采用一种由圆弧和直线组成的齿廓，这种齿廓来自于摆线齿廓的修正，以便于齿轮的加工，但这种齿轮传动的过程是与传统齿轮不同的。

　　在机械钟表领域，驱动钟表工作的动力来源于发条储备的弹性势能，通过增速传动，将动力传至调速机构，从而控制手表精确走时。这个传动过程中，由于能源储存的能量不大，所以要求有较高的传动效率。因此提高钟表齿轮传动的传动效率具有十分重要的意义。

　　2钟表齿轮齿形基本参数在钟表齿轮设计过程中，原始的参数有：传动比i21，中心矩A和齿轮模数m.从这些原始参数，可以确定啮合的轮片和龆轮的齿数Z1和Z2，根据齿形参数之间的关系进而可以得到主要参数的变化范围。

　　对于一对啮合的钟表齿轮而言，其主要参数是指决定齿形的4个参数：齿轮的齿顶圆弧半径ρ1，龆轮的齿顶圆弧半径ρ2，齿轮的齿顶圆弧中心圆半径rc1，龆轮的齿顶圆弧中心圆半径rc2.对于钟表齿轮而言，齿轮的齿顶圆弧中心圆半径rc1小于分度圆半径r1，龆轮的齿顶圆弧中心圆的半径rc2略小于或等于分度圆半径r2，齿轮和龆轮的齿顶圆弧半径ρ1和ρ2都分别小于其齿顶圆弧中心圆的半径rc1和rc2，这4个参数都是大于0的，否则构不成齿形。

　　3钟表齿轮传动的效率3.1钟表齿轮传动效率的影响因素一对钟表齿轮的传动效率，主要取决于两个主要因素：齿轮间的摩擦损失，原动轴和从动轴支承中的摩擦损耗。在分析钟表齿轮传动的传动特性时，常常只考虑轮齿间的摩擦损失，而没考虑轴支撑中的摩擦损失，但实际上对于一对齿的啮合来说，这两种摩擦对效率的影响都是不容忽视的。

　　上述两个因素实际上都和齿形参数有着直接的联系，因此，选择合适的齿形参数，可以提高钟表齿轮理论上的传动效率。当然，在实践中，齿轮传动效率还和加工精度、齿面质量、中心矩误差等因素有关，但归根到底，这些制造误差完全可以折算到齿形的变化上。

　　3.2平均传动效率解析一般来说，钟表齿轮的啮合段，在不考虑齿尖参加啮合时，可分为两个啮合段(这是 常见的啮合情况)：齿轮圆弧段与龆轮圆弧段啮合;齿轮圆弧段与龆轮直线部分啮合。由于摩擦力方向不同，通常将齿轮圆弧段与龆轮圆弧段啮合分为在中心线前啮合和中心线后啮合。与渐开线齿轮类似，根据不同的机构模型，可以分别得到不同的瞬时传动效率解析式。

　　设瞬时传动效率为η，主、从动轮瞬时功为dW1、dW2，主、从动轮力矩分别为M1、M2，主、从动轮角速度分别为ω1和ω2.

　　η=dW1dW2=M2×ω2×dtM1×ω1×dt=M2M1×ω2ω1=ij21?

　　i21(1)因此，只要求出不同啮合阶段的瞬时传动比i21和瞬时力矩比ij21，即可得到各啮合段的瞬时传动效率解析式。

　　不考虑轴颈支撑中的摩擦损失时，设p1、m1、p2、m2、p3、m3为中间变量，f为轮齿间的摩擦系数，按参考文献定义：以龆轮啮合轮齿齿顶圆弧中心的半径线作为表示啮合位置的参考线，把开始啮合时该线与中心线的夹角定为进啮角，而把终止啮合时该线与中心线的夹角定为出啮角。

　　ψ1、ψ2分别表示轮齿在中心线啮合时，过龆轮啮合轮齿齿顶圆弧中心的半径线与中心线的夹角。

　　ψj、ψc、ψ1、ψ2再利用二分法编程解超越方程计算出各值。把各值代入平均效率计算公式，就能得出平均效率的解析式。

　　但是按照上述解析式，实际上根本无法解出齿形参数，实践中没有应用价值，对此，本文提出计算机的数值计算方法，通过计算机的编程筛选，在有效范围内选出接近理论结果的理想齿形。

　　3.3 大平均传动效率的数值计算和齿形参数优化方法在啮合过程中不出现自锁现象的条件下，研究平均传动效率有着十分重要的意义。在平均传动效率 大化的目标下，可以得到 的理论齿形参数。

　　如前所述，钟表齿轮传动原始参数i21、A和m确定时，钟表齿轮的基本齿形参数ρ1、ρ2、rc1、rc2有确定的变化范围，这些参数在其变化范围内变动，便可以得到各种不同的齿形，利用这些齿形参数解出进啮角、出啮角和各个转换角，然后在3个区间[ψj，ψ1]、[ψ1，ψ2]、[ψ2，ψc]内分别取一定步长利用前述各段瞬时效率求出各段的平均效率，然后将3段平均效率取平均值，得出总的平均效率。

　　但是钟表齿轮在啮合过程中，还有一种常见的情况出现，就是齿轮在还没有达到齿轮圆弧段与龆轮直齿段啮合之前，整个啮合段就结束了，即啮合过程只有两段：齿轮圆弧段与龆轮圆弧段在中心线前啮合和在中心线后啮合，没有齿轮圆弧段与龆轮直齿段啮合段，这样就需要先判断转换角ψ2是否存在，存在的话就按前一种方法计算平均效率，否则就要按照另外的公式重新计算进啮角和出啮角，然后只需在[ψj，ψ1]和[ψ1，ψc]两个区间按上述方法计算总的平均效率。从这个思想出发，在一定的计算精度范围内，对各齿形参数进行全面的扫描， 终总能够找到一个齿形参数，可以满足平均效率 大的目标。但仅凭 大平均效率判断是不够的，特别是在平均效率较为理想时，整个啮合过程中有可能在某点处出现瞬间传动效率较低或为“零”的情况，此时，整个传动机构完全可能在该点处“自锁”，无法传动。从实践的角度来看，这些自锁点通常位于啮合初期。为了防止这一问题的发生，在平均效率的数值计算过程中，必须避免瞬间效率过低的点和区间，将其首先排除。整个过程就是利用计算机“海选”出合适的齿形参数，利用C语言编程实现。

　　4快速逼近算法利用上述计算方法要得到符合工程要求的齿形，需要大量的计算，常用微型计算机可能需要数十小时的计算，为了加快计算速度，本文提出一种简便的数值计算方法，在保证计算精度的情况下，可大大减少计算量。

　　这种计算方法的指导思想是：各参数的扫描步长设为1/10的区间长度，进行平均效率计算，得到 大效率时的一组数据，这组数据附近，显然存在效率 的齿形，将这组数据作为各参数缩小参数的中心点，以&pmn;1/10区间作为新的参数变化区间，并以新区间的1/10长度作为步距，对新区间进行扫描，得到第二次逼近的数据，经过多次类同的逼近运算之后，计算精度可以逼近参数变换区间的1/100甚至更小，计算时间可以减少一半以上，足够满足工程计算的要求。条盒轮和二齿轮、二轮片和三齿轴、三轮片和秒齿轴、秒轮片和擒纵齿轴一组齿形参数值为例，用本文提出的优化计算方法计算出来的齿形参数及其平均效率值，以及优化前后的齿形参数和平均效率列于表1，采用本文提出的方法可较快速地得到传动效率更高的齿形参数(f取0.2，f1、f2都取0.15)。

　　6结语本文提出的基于计算机的钟表齿轮基本齿形参数优化计算方法，是在对钟表齿轮啮合传动时的传动效率分析的基础上通过编程得到的，经实例验证，利用该优化方法得出的齿形参数构成的齿轮比传统计算方法得出的齿形有更高的传动效率，这种方法适合于各种齿轮的优化，不局限于钟表齿轮。